3.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一．教材內(nèi)容解析

“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”、“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”、與“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是圓錐曲線的三種方程，三部分在圓錐曲線中的地位相同，它能在不同層次上體現(xiàn)數(shù)學(xué)中知識(shí)的交匯和解題方法的豐富多彩，也因此備受高考的關(guān)注。雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的概念與橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程相類似，教材處理也相仿，在知識(shí)體系中兩者表現(xiàn)為平行關(guān)系，但雙曲線卻是所有圓錐曲線中學(xué)習(xí)難度最大的一種。所以在教學(xué)中，一方面，要注意與已學(xué)習(xí)過(guò)的橢圓進(jìn)行類比，在類比遷移中找到知識(shí)和方法上的相通處；另一方面，也要注重其相異點(diǎn)，以建構(gòu)起新的數(shù)學(xué)認(rèn)知。學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容是學(xué)好圓錐曲線關(guān)鍵之一，以利于后面能進(jìn)一步理解掌握由曲線求方程和由方程討論曲線的性質(zhì)。從而借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究，再把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來(lái)討論，能使學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想，為后面用代數(shù)方法研究拋物線提供了必要的工具和基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到了承上啟下的作用。

二、教材分析

本案例從學(xué)生的興趣入手引入新課，以橢圓的定義和建立橢圓的方程開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生,著手從雙曲線的定義來(lái)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再?gòu)姆匠桃约皥D像來(lái)深刻剖析雙曲線的定義,從而真正理解雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)置的練習(xí)目的在于讓學(xué)生真正理解標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,分清兩種形式里的a,b,c及其焦點(diǎn)坐標(biāo),其中焦點(diǎn)坐標(biāo)是還是,分別對(duì)應(yīng)哪種形式值得強(qiáng)調(diào)。

思考是為了真正弄懂雙曲線的定義及其圖像。例1的目的是用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,其中蘊(yùn)含分類討論的數(shù)學(xué)思想。例2的目的在于加深對(duì)雙曲線定義的理解,以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c所指量,例2的思考是著手對(duì)定義后的補(bǔ)充的思考的實(shí)踐.只有實(shí)踐才能真正掌握定義2a<2c的意義。

最后的課堂訓(xùn)練是學(xué)生自己思考動(dòng)手解決問(wèn)題,讓其體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程,進(jìn)一步明確今天所學(xué)內(nèi)容,達(dá)到對(duì)新學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí).

三、學(xué)情分析

高二學(xué)生已經(jīng)形成了是非觀，具備了一定的類比轉(zhuǎn)化及分析問(wèn)題的能力，在心里上也具備了承受和辨證地接受別人的意見(jiàn)和建議，但對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的處理還不夠靈活，因此在課堂上注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)教師的點(diǎn)撥引領(lǐng)效果。四、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)

（1）通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，并理解這一定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過(guò)程。

（2）理解并熟記雙曲線的焦點(diǎn)位置與兩類標(biāo)準(zhǔn)方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.能力目標(biāo)

通過(guò)“實(shí)驗(yàn)觀察”、“思考探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。

（1）在類比及實(shí)驗(yàn)中獲得雙曲線的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生合理猜測(cè)的能力。

（2）在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，進(jìn)一步提高學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力和理性化的數(shù)學(xué)思維。

（3）能根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的雙曲線方程解題。

（4）加深對(duì)類比、求簡(jiǎn)、分類討論思想的理解與運(yùn)用。

3.情感目標(biāo)

（1）通過(guò)實(shí)例的引入和剖析，讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐；生活中處處有數(shù)學(xué)。

(2)在教學(xué)中滲透“量變產(chǎn)生質(zhì)變”的辯證唯物主義世界觀。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握雙曲線中a,b,c 之間的關(guān)系

（設(shè)計(jì)意圖研究雙曲線的性質(zhì)離不開(kāi)a,b,c之間的的關(guān)系）

難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程如何分清雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是難點(diǎn)（解決方法多媒體輔助教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法）

五、教學(xué)程序設(shè)計(jì)：

(一)創(chuàng)設(shè)情境：在上課之前首先用多媒體為學(xué)生播放校園歌曲《悲傷的雙

曲線》，動(dòng)聽(tīng)的旋律響起，一下就吸引了學(xué)生的注意，看著歌詞，

欣賞完歌曲，學(xué)生就開(kāi)始圍繞雙曲線提問(wèn)，問(wèn)定義、怎么畫圖像、

方程是什么，自然而然的進(jìn)入了這節(jié)課的內(nèi)容。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生都是十七八的年紀(jì)，正處在愛(ài)聽(tīng)歌，喜歡“為賦新詩(shī)強(qiáng)說(shuō)愁”的階段，所以我從學(xué)生興趣入手，由歌曲引入新課，比生硬的開(kāi)場(chǎng)白要起到事半功倍的效果。）

(二)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)(大于||)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞||．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書)

（設(shè)計(jì)意圖：把知識(shí)點(diǎn)在黑板上板書出來(lái)，在給出雙曲線的定義、方程之后讓學(xué)生能對(duì)這兩種圓錐曲線的異同直觀的進(jìn)行比較。）

(三)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？

（設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)，自己設(shè)想，鍛煉學(xué)生的想象能力。）

1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明)

如圖2-23，定點(diǎn)、是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|M|-|M|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|M|-|M|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

注意：常數(shù)要小于||，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線．

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己動(dòng)手，鍛煉學(xué)生能力的同時(shí)活躍課堂氣氛）

2．設(shè)問(wèn)

問(wèn)題1：定點(diǎn)、與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？

問(wèn)題2：|M|與|M|哪個(gè)大？

問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)、距離的差是否就是|M|-|M|？

問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于||？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回答，鍛煉學(xué)生的觀察能力，分析能力，解決問(wèn)題的能力，同時(shí)通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題能準(zhǔn)確理解雙曲線的定義。）

 3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于||)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記．

(四)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

教師引導(dǎo)學(xué)生指出：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是，不同于橢圓方程中．

(五)對(duì)比體驗(yàn)、提高興趣

1、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

焦點(diǎn) (-3，0)、 (3，0)，且2a=4；

本題由學(xué)生先練習(xí)再口答：

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟記雙曲線的定義，會(huì)用定義法求曲線軌跡方程。

2、證明：橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同。

3、已知兩點(diǎn)(-5，0)、(5，0)，

(1)求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．

(2)如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

(1)按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以 

(2)因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c．所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡．

(六)反思成果、探究問(wèn)題

1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于||)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形(見(jiàn)圖2-25)：

4．焦點(diǎn)： (-c，0)、 (c，0)； (0，-c)、 (0，c)．

5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

（期）布置作業(yè)、探究問(wèn)題

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，焦點(diǎn)在y軸上。

3．已知圓錐曲線的方程為，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)．

（八）、板書設(shè)計(jì)

（九）、教學(xué)反思與啟示

用學(xué)生感興趣的音樂(lè)導(dǎo)入本課，使學(xué)生在快樂(lè)中學(xué)習(xí)，運(yùn)用大量的圖片和視頻資料對(duì)比，激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。本節(jié)課識(shí)記內(nèi)容不多，但是計(jì)算很多，需要學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，另外解析幾何內(nèi)容相對(duì)枯燥，所以運(yùn)用多媒體教學(xué)，增加活躍氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，整節(jié)下來(lái)，學(xué)生興趣很高，效果不錯(cuò)。但是有點(diǎn)不足的是，有幾個(gè)學(xué)生下課后要求我把課件存入班級(jí)電腦，問(wèn)其原因，想聽(tīng)悲傷的雙曲線這首歌，說(shuō)明對(duì)有的學(xué)生這節(jié)課偏離了主體，重點(diǎn)沒(méi)發(fā)揮作用，還有待改善。